Si presupones que el cable HDMI se encuentra en buen estado...
Limpia con lija muy fina el puerto HDMI
Yo hago una cosa así:

De tal forma que entre en la ranura más delgada del puerto HDMI. (Si entra en lo más delgado, podrá caber en la parte más ancha)
Esta forma la paso primeramente de forma vertical, o sea, de afuera hacia adentro y luego en forma horizontal.
El recorte es importante y la lija también, pues debe ser muy fina.
Se trata de remover la suciedad, no de doblar ni devastar las terminales. (Ambos lados deben limpiarse)
Uso una lija de estas características:
Posteriormente le paso un cepillo para dientes (limpio) impregnado con alcohol isopropílico.
Y queda listo el puerto de cualquier oxidación, suciedad o sarro por humedad.
Si esto no funciona, se debe comprobar continuidad entre terminales y pistas, sarro en las pistas del conector, pistas rotas, resistencias desoldadas o soldaduras sueltas.
Un repaso de soldadura con flux a las terminales en la tarjeta también suele ser conveniente.
Si lo anterior no funciona, lleva el equipo a un centro de servicio especializado y calificado.