En las entradas de cada compuerta podés applicar voltajes desde -0,5V hasta Vdd+0,5V, donde Vdd es la tensión de alimentación.
Por el lado del voltaje no tenés problemas y soporta hasta 15V de alimentación.
¿Corriente? No hay dramas, porque sólo va a circular la que permita el integrado (por las entradas)
A la salida de las compuertas vas a tener 0,05V como máximo cuando las dos entradas sean "0", y Vdd cuando el voltaje de entrada sea "1" (eso se logra con 3,5V o más). Seguimos bien.
La corriente que soporta la compuerta es de 0,88 y -0,88 mA en bajo y alto nivel de salida con alimentación de 5V. Eso debería ser suficiente para que el transistor entregara 140mA con una ganancia de 160. Si mecesitás más corriente, poné dos transistores en Darlington (dos con hfe=100 cada uno en esta configuración te dan un máximo de 8,8A de corriente con los 0,88mA del integrado), o usá uno con más ganancia (350mA con Hfe=400).
El problema no creo quevenga por ahí.
Para empezar, poné el PNP y la compuerta, y un LED a la salida del transistor. Con cablecitos nomás probá la compuerta y hacé encender el LED. Una vez que eso funcione, sacá el LED, poné el relé y probalo.
Cuando ande el relé, agregá uno de los NPN y hacé funcionar el circuito así.
Cuando ande, agregá el otro y así sucesivamente.
Espero que algo de esto te dé resultado y no te olvides de los diodos que te recomienda Triskel un par de posts más arriba (van entre los terminales de la bobina del relé y en sentido inverso al de circulación de la corriente).
Saludos