Bueno, como bien dice el encabezado, comienzo haciendo la comparación con una cañería.
La carga eléctrica vendría a ser el agua, la cantidad de agua que pasa por una sección de cañería por unidad de tiempo (el flujo de agua, el caudal) sería el equivalente a la corriente eléctrica.
Entonces esa es la primera definición: corriente es carga eléctrica moviéndose, de la misma forma que una corriente de agua es agua en movimiento.
Si ahora suponemos que por ejemplo, nuestra cañería que estaba a ras del piso ahora se eleva hasta un tanque (el tanque de agua de nuestras casas para visualizarlo mejor), el agua que está en la parte de arriba de la cañería se acelerará hacia abajo por efecto de la gravedad, que convierte la energía potencial del agua del tanque en energía cinética. Con éste último párrafo me parece que compliqué un poco la cosa no?. Se podría ver mejor como que el agua circula de la zona de mayor presión a la de menor presión (de mayor energía potencial a menor) y que la cantidad de agua que circula depende de la diferencia de presión. O también, más relacionado con un tanque de agua, que circula de la zona de mayor altura a la de menor altura, con más presión cuanto mayor es la diferencia de alturas.
Bueno, podríamos hacer el equivalente de la gravedad con un campo eléctrico que se establece a lo largo del conductor, y de la presión/energía potencial del agua/altura con el potencial eléctrico (que a fines explicativos podemos decir que es lo mismo que tensión eléctrica o más vulgarmente voltaje).
Resumiendo, tenemos la corriente eléctrica que me indica cuánta carga se está moviendo, y la tensión eléctrica que indica cuanta fuerza se está haciendo sobre esa carga eléctrica.
Nótese que hablo de carga eléctrica y no de electrones. Carga eléctrica pueden ser iones en estado sólido (semiconductores), gaseoso (luz fluorescente) o líquido (proceso electrolítico del cobre).
Bueno, en realidad podría seguir hablando de los distintos tipos de corriente (contínua, alterna, de polarización, transitorias) pero creo que ya contesté la pregunta.
Saludos