Hola,
Publico la solución del problema como la vi en la Internet, me parece muy sencilla y elegante.
La pregunta era como encontrar a qué valor(es) converge la siguiente función infinita:
[LATEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+ ...}}}[/LATEX]
Llamemos:
[LATEX]x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+ ...}}}[/LATEX]
Entonces, elevando al cuadrado:
[LATEX]x^2 = 2+\sqrt{2+\sqrt{2+ ...}}[/LATEX]
Como se trata de una función infinita, examinando vemos que la parte derecha de la igualdad no es otra que "x".
Por lo tanto nos queda una simple función cuadrática de la forma
[LATEX]x^2 = 2+x[/LATEX]
De la que se despejaמ los dos valores posibles a los que converge la función, -2 y 2.
La forma genérica de esta función es
[LATEX]x^2 = n+x[/LATEX]
Y sus soluciones son de la forma:
[LATEX]{-1 ± \sqrt{ 1 + 4n}\over 2[/LATEX]
O sea que para que la solución sea entera, [LATEX]\sqrt{ 1 + 4n}[/LATEX] debe ser un número cuadrado perfecto de un número impar.
La primera solución es para n = 2 con lo que nos queda [LATEX]\sqrt{9} = 3[/LATEX], las siguientes soluciones son para n = 6, 12 (como dijiste vos, asherar) y sigue con n = 20, 30, 42, 56, etc.
Saludos
No hace falta la primer ecuación.
